見た目ほど単純ではない数学のパラドックス

When Infinity Defies Common Sense

昔の数学の先生が教えてくれたこと

約3年前、昔の数学の先生がある問題を教えてくれました。今日、古い数学オリンピックの本を見返していたら、またその問題に出会ったのです。これは「ロス・リトルウッド・パラドックス」と呼ばれるもので、多くの人は知らないでしょうが、考える価値のある興味深い問題です。

こんな状況を想像してください。1、2、3...と番号の付いた球が無限にあります。そして一つの容器があります。ルールは次の通りです：

ステップ1：1番から10番までの球を容器に入れる。それから1番の球を取り出す。

ステップ2：11番から20番までの球を容器に入れる。それから2番の球を取り出す。

ステップ3：21番から30番までの球を容器に入れる。それから3番の球を取り出す。

これを永遠に続けます。各段階で、10個の球を入れて1個だけ取り出すのです。当然、容器はどんどん満たされていくはずです。10個入れて1個出すということは、毎回9個ずつ増えることを意味します。100回目のステップでは数百個の球があり、1000回目のステップでは数千個の球があるでしょう。

そこで、もっともらしい推測が生まれます：無限回のステップの後、容器には無限個の球が入っているはず。

しかし、実際にはそうではありません。

各球に何が起こるかを注意深く見てみましょう。

一般的に、n番の球はステップnで取り出されるのです。

どの球を選んでも、最終的にはそれが取り出されます。5万番の球はステップ5万で取り出され、1000万番の球はステップ1000万で取り出されます。

つまり、無限回のステップの後、すべての球が取り除かれ、容器は空になるのです。

ここにパラドックスがあります。有限のどのステップでも、容器はより満たされているように見えます。しかし、プロセスが決して止まらない極限では、容器は空のままです。なぜ、継続的に拡張し成長しているものが、突然無になってしまうのでしょうか？

「1ステップあたり+9個の球」という計算は、ステップが有限の場合にのみ有効です。それを無限まで持続させる場合、より繊細な質問を問わなければなりません：プロセスが永遠に続く中で、各物体に最終的に何が起こるのか？もしこのプロセスを無限の時間続けるなら、すべての球は実際に消えてしまうのです！

ロス・リトルウッド・パラドックスは「スーパータスク」と呼ばれます。これは有限または概念的な極限において無限回のステップを含む一連の動作のことです。このような他のパラドックスは、ゼノンの運動のパラドックスにも現れますが、今回は運動ではなく離散的な物体を扱っています。

数学者はこれを極限と無限級数の観点から表現します。有限のステップkにおいて、容器内の球の数は：

Nk = 9k

この式で、kはステップ番号です。k→∞として、この表現は成長し続けます。しかし、各球の運命をたどると、すべての系列が除去に向かいます。残った球の集合の観点から見ると、極限は空集合です。

この矛盾—数が報告するものと集合が報告するものの間の—こそが、このパラドックスが非常に不安にさせる理由なのです。

ロス・リトルウッド・パラドックスについて私が愛する部分は、球と容器という非常に普通の設定を取り上げて、無限そのものについての思考に挑戦させる設定にしていることです。