無限は数学的に定義できるのか？

Why Infinity Breaks Mathematics

いいえ、不可能です。なぜなら「定義する」という行為そのものが「有限にする」ことだからです。

科学哲学者のグレン・ボーチャード博士が、無限の数学的定義についての質問に答えた興味深い記事を紹介します。

無限を方程式で表すという矛盾

読者のダグ・ギル氏からこんな質問が寄せられました。

「無限の一般的な数学的定義を作ることは可能でしょうか？数学には多くの例がありますし、カントールの対角線論法も素晴らしい例です。しかし、例を挙げるだけでは定義にはなりません。言語的な『永遠に続くもの』という説明ではなく、数学的な形式での定義が必要なはずです」

これに対してボーチャード博士はこう答えています。

「そのような方程式があったとしても、それは無限に長くなってしまうでしょう。数学はすべて抽象化であり、無限の宇宙で観察される無限の特性を短縮したものなのです」

博士は「ネオメカニクス」という新しい概念を提唱しています。これは古典力学に無限とその関連する前提を加えたものです。

ハイゼンベルクの不確定性原理は古典力学の終焉を告げるものでした。理論物理学者たちは選択を迫られました：未知のものを有限として扱うか、無限として扱うか。多くの物理学者はコペンハーゲン学派に従い、有限性を選択しました。彼らは確率を有限な原因の一つとして含めることにしたのです。

一方、進歩的な物理学では無限を率直に認めています。博士が提唱する科学の基本前提：

博士は円周率を例に挙げて説明を続けます。

「円周率の最新記録は300兆桁を超えています（2025年5月、KIOXIAとLinus Media Groupによる達成）。しかしNASAですら、ほとんどの科学計算や工学計算には15〜16桁で十分なのです」

つまり、たった一つの数学定数でさえこれほどの無限性を持っているのに、無限の宇宙全体を記述する方程式など、どうして作れるでしょうか。

かつてラプラスは、古典力学の有限な方程式を使って未来を完全に予測し、過去を完全に再現できる全知の悪魔を想像しました。しかしこれは決して実現しません。この失敗こそが古典力学のアキレス腱であり、ラプラス、ハイゼンベルク、アインシュタイン、そして後退的な物理学者や宇宙論者たちの素朴さを示しているのです。

宇宙のすべてがエーテル粒子（博士は「エーテロン」と呼ぶ）に浸されている状況で、無限の宇宙を記述する有限な方程式など作れるはずがありません。すべての方程式は「以下同様に続く」か、無限記号（∞）で終わらざるを得ないのです。

博士は最後にこう締めくくります。「無限宇宙理論」は、ビッグバン理論に代わる究極の理論として、宇宙の合理的な見方への道を示しているのだと。